Question

已知直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半

軸上，且，點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.

(1)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

①求直線的解析式；

②求點(diǎn)到直線的距離；

(2)若點(diǎn)在軸上方的直線上，且

是 銳角，試探究：在直線

上是否存在符合條件的點(diǎn)，使

得；若存在，求出b

的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

解：(1) ①把代入中，得：，解得：.

∴直線的解析式為：.……………………………………………………3分

②∵，點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn).

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離.

在中，令，則，

∴.…………………………………4分

令，則，∴.

在中，由勾股定理，得：，

 ，

在中，, ∴，.

∴點(diǎn)到直線的距離為.……………………………7分

(2)在的垂直平分線上取點(diǎn)（4，1.5）

以為圓心，為半徑作圓，則⊙必過(guò)點(diǎn)，

在中，

由勾股定理，得：.

…………8分

當(dāng)直線與⊙相切（切點(diǎn)在第一象限）時(shí)，直線上存在唯一一個(gè)符合條件的點(diǎn)（切點(diǎn)），使得，此時(shí)設(shè)的垂直平分線交直線于點(diǎn)，

在直線中，令，則，∴，令，則，∴,由勾股定理，得：.

∵，，∴∽，

∴，，.

∴，.…………………………………10分

則把代入中，得：，

此時(shí)直線的解析式為：.

若直線過(guò)點(diǎn)，則把代入中，得：，

若直線過(guò)點(diǎn)，則把代入中，得：，

∴當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)不存在；

當(dāng)或時(shí)，存在符合條件的一個(gè)點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，存在符合條件的兩個(gè)點(diǎn).