Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（-，1）、F（- ，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′.

（1）求折痕所在直線EF的解析式；

（2）一拋物線經(jīng)過B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；

（3）能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長最�。咳缒�，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)EF的解析式為y=kx+b,，把E（－，1）、F（,0）的坐標(biāo)代入：

1=－k+b            解得：   k=

0=k+b                    b=4

∴直線EF的解析式為y=x+4

（2）設(shè)矩形沿直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′

∵BE=3-=2；∴B′E= BE=2

在Rt△AE B′中，根據(jù)勾股定理，求得：A B′＝3，∴B′ 的坐標(biāo)為（0，-2）

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax²+bx+c

把點(diǎn)B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）代入

-2=c                                 a=

3a－b+c=1                解得：  b=

27a－3b+c=1                       c=－2

∴二次函數(shù)的解析式為y=x²x－2

（3）能，可以在直線EF上找到點(diǎn)P，連接B′C，交直線EF于點(diǎn)P，連接BP.

由于B′P=BP，此時，點(diǎn)P與C、B′在一條直線上，所以，BP+PC = B′P+PC的和最小，由于BC為定長，所以滿足△PBC周長最小.

設(shè)直線B′C的解析式為：y=kx+b

-2=b

0= -3k+b

∴直線B′C的解析式為

又∵P為直線B′C和直線EF的交點(diǎn)，

∴          解得：  

            y=x+4                     

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，）