Question

【題目】如圖，已知⊙的半徑為， 為直徑， 為弦． 與交于點(diǎn)，將 沿著翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長(zhǎng)至，使，鏈接．

（）求的長(zhǎng)．

（）求證： 是⊙的切線．

（）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（與、不重合）．則為一定值．請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據(jù)翻折的性質(zhì)求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據(jù)圓的切線的定義證明即可；（3）連接GA、AF、GB，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，從而得到GEGF=AG2，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

（）連接，

∵沿翻折后， 與重合，

∴，

∴，

∵，

∴．

（）∵， ，

∵， ，

∴，

∵， ，

∵，

∴，

∴是⊙的切線．

（）， 為定值，

連接， ， ，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵為直徑， ，

∴，

∴，

∴．