Question

16．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水?dāng)Q緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水部分的面積是（$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$）cm²．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，則CD=2，由垂徑定理可知AC=CB，利用正弦函數(shù)求得∠OAC=30°，進(jìn)而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，從而利用S_扇形-S_△AOB求得杯底有水部分的面積．

解答 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，則CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
在RT△AOC中，sin∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴杯底有水部分的面積=S_扇形-S_△AOB=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=（$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$）cm²
故答案為（$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$）cm²．

點(diǎn)評 本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．