Question

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）．設(shè)BE=m，CD=n．
（1）求證：△ABE∽△DCA；
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證BD+CE=DE．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得∠BAE=∠CDA，可證明△ABE∽△DCA；
（2）由△ABE∽△DCA，得

BE

CA

=

BA

CD

，由題意可知CA=BA=

2

，則

m

2

=

2

n

，從而得出m=

2

n

．進(jìn)而得出自變量n的取值范圍為1＜n＜2；
（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，再根據(jù)m=

2

n

，得m=n=

2

．可求得點(diǎn)D坐標(biāo)為（1-

2

，0）得出BD，DE，由BD+CE=2BD，得CE的長(zhǎng)，從而得出BD+CE=DE．

解答：（1）證明：在△ABE和△DCA中，
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°．
∴∠BAE=∠CDA．
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA．
（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴

BE

CA

=

BA

CD

．
由題意可知CA=BA=

2

，
∴

m

2

=

2

n

，
∴m=

2

n

．
自變量n的取值范圍為1＜n＜2．
（3）解：由BD=CE可得BE=CD，即m=n
∵m=

2

n

，
∴m=n=

2

．
∵OB=OC=

1

2

BC=1，
∴OE=OD=

2

-1，
∴D（1-

2

，0）．
∴BD=OB-OD=1-（

2

-1）=2-

2

=CE，
DE=BC-2BD=2-2（2-

2

）=2

2

-2．
∵BD+CE=2BD=2（2-

2

）=12-8

2

，
∴CE=（2

2

-2）=12-8

2

．
∴BD+CE=DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題以及函數(shù)問(wèn)題，是難度較大的題目，解答時(shí)要認(rèn)真審題，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．