Question

【題目】如圖，和是兩個全等的等腰直角三角形，，的頂點E與的斜邊BC的中點重合將繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

如圖，當(dāng)點Q在線段AC上，且時，和的形狀有什么關(guān)系，請證明；

如圖，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，和有什么關(guān)系，說明理由；

當(dāng)，時，求P、Q兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∽．理由見解析；（3）．

【解析】

（1）依據(jù)△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中點，運用SAS即可判定△BPE≌△CQE；

（2）依據(jù)∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根據(jù)∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；

（3）先根據(jù)△BPE∽△CEQ，得到=，進而得到BE=CE=，BC=，最后根據(jù)勾股定理，求得△APQ中，PQ=.

≌．

理由是等腰直角三角形，

，，

，

，

是BC的中點，

，

在和中，

，

≌；

∽．

理由：和是兩個全等的等腰直角三角形，

，

，

即，

，

，

，

∽；

如圖，連結(jié)PQ，

∽，

，

，，，

，

，

，

在中，，

，

，，

在中，．