Question

（8分）將拋物線c₁：y=沿x軸翻折，得到拋物線c₂，如圖所示.

（1）請直接寫出拋物線c₂的表達式；
（2）現將拋物線c₁向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c₂向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D，E.
①用含m的代數式表示點A和點E的坐標；
②在平移過程中，是否存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=x2-.(2)①(-1-m,0) ②m=1時，△AME為Rr△.

解析試題分析：因為二次函數的圖像關于x軸對稱時，函數中的a,c,互為相反數，b值不變，函數向左平移時，縱坐標不變，橫坐標均減少平移個單位，可假定成立，由直角三角形性質得到驗證。解：（1）拋物線c₂的表達式是；  2分；

（2）①點A的坐標是（，0），      3分；
點E的坐標是（，0）.        4分；
②假設在平移過程中，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形.
由題意得只能是.
過點M作MG⊥x軸于點G.
由平移得：
點M的坐標是（，），   5分；
∴點G的坐標是（，0），
∴，，
，
在Rt△AGM中，
∵ tan，
∴，    6分；
∵ ，
∴，
∴tan，
∴，      7分；
∴.       8分.
所以在平移過程中，當時，存在以點A，M，E為頂點的三角形是直角三角形.
考點：二次函數的圖像與性質，直角三角形的性質。函數圖像翻折時，解析式的系數的變換。
點評：要熟練掌握以上各種性質，在解題時要掌握正確的方法，本題由一定的難度有三問需認真的思考一一作答，屬于中檔題。