Question

15．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF為正方形，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)臈l件并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，得出AF=DC，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=CD，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AF∥BC
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EDB}&{\;}\\{∠AFE=∠EBD}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）解：當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，四邊形ADCF為正方形；
理由：∵△ABC為等腰直角三角形，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=CD，
∴平行四邊形ADCF為矩形，
∴矩形ADCF為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．