Question

9．在矩形ABCD中，對角線AC、BD交與點O，AC=4，AB=2，點E是AD中點，點P是CD上一動點，則△OEP周長最小是$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 過E作關于CD的對稱點F，連接OF交CD于P，P即為所求，此時PE+PO的值最小，最小值為OF，從而△OEP周長最�。桓鶕�(jù)勾股定理即可求得PO+PE的最小值，進而就可求得△OEP周長最小值．

解答 解：過E作關于CD的對稱點F，連接OF交CD于P，P即為所求，此時PE+PO的值最小，最小值為OF，
∵AC=4，AB=2，
∴AD=BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵點E是AD中點，
∴DE=$\sqrt{3}$，
∵在矩形ABCD中，OD=OB=OA
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1，OE⊥AD，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
在RT△OEF中，OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PO+PE的最小值=OF=$\sqrt{13}$．
∴△OEP周長最小值=$\sqrt{13}$+1．
故答案為：$\sqrt{13}$+1．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，根據(jù)軸對稱的性質作出P點是解題的關鍵．