Question

在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=，
（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；
（2）如圖2，點I為三角形ABC的內心，BA=BC，求AI的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DB垂直于BC，連DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根據sinA的值求出即可；
（2）連接IC、BI，且延長BI交AC于F，過I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根據sinA求出BF/AB，求出AC，根據三角形的面積公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．
解答：（1）解：作DB垂直于BC，連DC，
∵∠DBC=90°，∴DC為直徑”
∴∠A=∠D，
∵BC=5，sinA=，
∴sinD==，
∴CD=，
答：三角形ABC外接圓的直徑是．

（2）解：連接IC、BI，且延長BI交AC于F，過點I作IG⊥BC于點G，過I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I為△ABC內心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sinA==，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，
AC=2AF=6，
∵I是△ABC內心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
設IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面積之和等于△ABC的面積，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4×，
∴R=，
在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．
答：AI的長是．
點評：本題考查了三角形的面積公式，三角形的內切圓和內心，勾股定理，等腰三角形的性質，圓周角定理等知識點的應用，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．