Question

3．如圖，己知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H．
（1）求證：CH=EF+EG；
（2）若∠BAC=60°，AB=10，BE：EC=3：2．求四邊形EFOG的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由矩形的性質(zhì)得出OB=OC，由△BOC的面積=$\frac{1}{2}$OB×CH，△BOC的面積=△BOE的面積+△COE的面積=$\frac{1}{2}$OB（EF+EG），即可得出結(jié)論；
（2）證明△AOB是等邊三角形，得出∠ABO=60°，OA=OB=AB=10，求出AC=2OA=20，BC=$\sqrt{3}$AB=10$\sqrt{3}$，由已知條件得出BE=6$\sqrt{3}$，EC=4$\sqrt{3}$，由直角三角形的性質(zhì)求出EF=$\frac{1}{2}$BE=3$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$EF=9，同理：EG=$\frac{1}{2}$EC=2$\sqrt{3}$，CG=$\sqrt{3}$EG=6，再求出OF、OG，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OE，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵△BOC的面積=$\frac{1}{2}$OB×CH，△BOC的面積=△BOE的面積+△COE的面積=$\frac{1}{2}$OB×CH+$\frac{1}{2}$OC×EG=$\frac{1}{2}$OB（EF+EG），
∴CH=EF+EG；
（2）解：∵∠BAC=60°，OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，OA=OB=AB=10，
∴AC=2OA=20，BC=$\sqrt{3}$AB=10$\sqrt{3}$，
∵BE：EC=3：2，
∴BE=6$\sqrt{3}$，EC=4$\sqrt{3}$，
∵∠OBC=90°-60°=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=3$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$EF=9，
同理：EG=$\frac{1}{2}$EC=2$\sqrt{3}$，CG=$\sqrt{3}$EG=6，
∵OB=OC=10，
∴OF=10-9=1，OG=10-6=4，
∴四邊形EFOG的周長(zhǎng)=1+4+4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=5+5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題（2）的關(guān)鍵．