Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C（-3，0），點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且滿足（OB-）²+=0．
（1）求點A、B的坐標；
（2）若點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AP．設△ABP的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使以點A、B、P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，直接寫出點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵（OB-）²+=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=，OA=1，
點A，點B分別在x軸，y軸的正半軸上，
∴A（1，0），B（0，）；

（2）由（1），得AC=4，
由關勾股定理得：
AB==2，BC==2，
∴AB²+BC²=2²+（2）²=16，
∵AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²=16，
∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°．
設CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，連接PA，
由△CPQ∽△CBO，
∴OB：BC=PQ：PC=1：2，
PQ=，
∴當點P在線段CB上時，S=S_△ABC-S_△APC=×4×-×4×=2-t（（0≤t＜2），
當點P在射線CB上時，S=S_△APC-S_△ABC=×4×-×4×=t-2（（t≥2）；

（3）存在，滿足條件的有四個．
P₁（-3，0），P₂（-1，），P₃（3，2），P₄（1，）．
分析：（1）根據(jù)條件（OB-）²+=0，可求得OB=，OA=1，根據(jù)圖象可知A（1，0），B（0，）；
（2）在直角三角形中的勾股定理和動點運動的時間和速度分別把相關的線段表示出來，設CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，S=S_△ABC-S_△APC=2-t；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分兩種情況討論：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA．可知滿足條件的有四個．
點評：本題考查了非負數(shù)的性質，相似三角形的判定，勾股定理和直角三角形的判定等知識點．利用非負數(shù)的性質求算出線段的長度是解題的關鍵之一．要會熟練地運用這些性質解題．