Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，PQ交AC邊于D，線段BC的中點(diǎn)為M，連接PM．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△CDQ與△MPQ相似；

（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，點(diǎn)D、E也隨之運(yùn)動，線段DE的長度是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由，若不發(fā)生變化，求DE的長；

（3）如圖2，將△BPM沿直線PM翻折，得△B'PM，連接AB'，當(dāng)t為何值時(shí)，AB'的值最��？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）t＝3時(shí)，△PMQ∽△DCQ；（2）不變化．DE＝3cm；（3）t為9﹣3時(shí)，AB'的值最小，最小值為3﹣3．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝60°，然后判斷出相似三角形的對應(yīng)關(guān)系可得PM∥DC，即可得出P是AB的中點(diǎn)，從而求出結(jié)論；

（2）P是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定證出△APK是等邊三角形，利用AAS證出△PKD≌△QCD，從而證出DK＝DC，即可求出結(jié)論；

（3）連接AM，易知當(dāng)A，B'，M在一條直線上時(shí)，AB'最小，利用三線合一和勾股定理求出∠BAM和AM，即可求出AB'的最小值，由折疊知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，最后根據(jù)AB'＝B'P即可求出結(jié)論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠DBQ＝120°，

∵∠BQP＝∠CQD，∠PMQ＞90°，

∴只有當(dāng)∠PMQ＝∠DCQ＝120°時(shí)，△PMQ∽△DCQ，

則PM∥DC，

∵M是BC的中點(diǎn)，

∴P是AB的中點(diǎn)，

即AP＝3＝t，

∴t＝3時(shí)，△PMQ∽△DCQ；

（2）不變化．理由如下：

如圖1中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴△APK是等邊三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm；

（3）如圖2中，連接AM，

則AB'≥AM﹣MB'，

而MB'＝MB，

∴當(dāng)A，B'，M在一條直線上時(shí)，AB'最小，

即：點(diǎn)B'在AM上，（如圖3）

∵BM＝CM＝3，AB＝AC＝6，

∴AM⊥BC，

∴∠BAM＝∠BAC＝30°，，

∵B'M＝BM＝3，

∴AB'的最小值為AM﹣B'M＝，

由折疊知，BP＝B'P，∠PB'M＝∠B＝60°，

∴∠APB'＝∠PB'M﹣∠BAC＝30°＝∠BAM，

∴AB'＝B'P＝6﹣t＝3﹣3，

∴t＝9﹣3，

即：t為9﹣3時(shí)，AB'的值最小，最小值為3﹣3．