Question

【題目】黃金三角形就是一個(gè)等腰三角形，且其底與腰的長(zhǎng)度比為黃金比值．如圖1，在黃金中，，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)， ；

把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，連接，判斷的值是否變化，并給出證明；

把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】，；不變，證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）根據(jù)黃金三角形的定義以及線段的比例關(guān)系即可求解；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明即可求解；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，CE最短，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CE最長(zhǎng)，．

（1）∵在黃金中，，

當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，；

當(dāng)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，；

故答案為：，；

（2）不變，證明如下：

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴．

（3）∵

，，

當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，CE最短，此時(shí)；

當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CE最長(zhǎng)，此時(shí)；

∴線段的長(zhǎng)的取值范圍是：．