Question

【題目】如圖，等邊中， 是的角平分線(xiàn)， 為上一點(diǎn)，以為一邊且在下方作等邊，連接．

（）求證： ≌．

（）延長(zhǎng)至， 為上一點(diǎn)，連接、使，若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（）證明見(jiàn)解析;（）PQ=8.

【解析】試題分析：

（1）由△ABC、△DCE都是等邊三角形可得：AC=BC、CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而可得∠ACD=∠BCE，這樣由“SAS”即可證得：△ACD≌△BCE；

（2）由等邊△ABC中，AO平分∠BAC可得∠CAD=∠BAC=30°，結(jié)合△ACD≌△BCE可得∠CBE=30°；過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BQ于點(diǎn)H，由此可得CH=BC=3，在Rt△CHQ中，由勾股定理可得HQ=4，結(jié)合CP=CQ可得PQ=2HQ=8.

試題解析：

（）∵， 均為等邊三角形，

∴，

∴，

即，

在和中，

，

∴≌．

（）∵等邊△ABC中，AO平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAC=30°.

如下圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

由（）知≌，

則，

∴，

∴在中， ，

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，

∴．