Question

（2010•賀州）在邊長為8的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=6，點H是正方形邊上的一點，連接BH，交線段AE于點F，且BH=AE，則線段FH的長是（　　）

A．5

B．5或4.8

C．5.2或5

D．10

Answer 1

分析：首先分兩種情況分析，①可證得Rt△ABE≌Rt△BCH，繼而證得△BEF∽△BHC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
②首先連接EH，易證得Rt△ABE≌Rt△BAH，繼而可證得四邊形ABEH是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得答案．

解答：解：分兩種情況討論：
①如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCH=90°，
在Rt△ABE和Rt△BCH中，

AB=BC AE=BH

，
∴Rt△ABE≌Rt△BCH（HL），
∴∠AEB=∠BHC，BH=AE，
∵∠EBF=∠HBC，
∴△BEF∽△BHC，
∴BE：BH=BF：BC，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=10，
∴BH=10，
即6：10=BF：8，
解得：BF=4.8，
∴FH=BH-BF=10-4.8=5.2；

②如圖2，連接EH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BAH=90°，
在Rt△ABE和Rt△BAH中，

AB=BA AE=BH

，
∴Rt△ABE≌Rt△BAH（HL），
∴AH=BE，AE=BH，
∵AH∥BE，
∴四邊形ABEH是平行四邊形，
∴BF=FH=

1

2

BH=

1

2

AE=5．
綜上，線段FH的長是：5.2或5．
故選C．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．