Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P沿邊AB從點A向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，設點P、Q移動的時間為t s．問：
（1）當t為何值時△PBQ的面積等于8cm²？
（2）當t為何值時△DPQ是直角三角形？
（3）是否存在t的值，使△DPQ的面積最小，若存在，求此時t的值及此時的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AP=t，QB=2t，PB=6-t，△PBQ的面積等于8cm²，列出關于t的方程進行求解即可；
（2）根據(jù)∠PDQ＜90°，需要分兩種情況進行討論：∠DPQ=90°或∠PQD=90°，分別求得t的值即可；
（3）根據(jù)AP=t，QB=2t，PB=6-t，可得S_△DPQ=S_梯形ABQD-S_△APD-S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（2t+12）×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=t²-6t+36，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質，求得當t=3時，S_△DPQ有最小值27．

解答 解：（1）由題意得AP=t，QB=2t，PB=6-t．
∵△PBQ的面積等于8cm²，
∴$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=8，
∴解得t=2或t=4，
又∵0≤t≤6，
∴當t=2s或t=4s時，△PBQ的面積等于8cm²．

（2）當t=0時，點P，Q分別與點A，B重合，
此時，∠DPQ=∠DAB=90°，△DPQ是直角三角形；
當PQ⊥DQ時，∠PQB=∠QDC，∠B=∠C，
∴△BPQ∽△CQD，
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CD}$，即$\frac{6-t}{12-2t}$=$\frac{2t}{6}$，
∴2t²-15t+18=0，
解得：t=$\frac{3}{2}$或6，
故當t=$\frac{3}{2}$時，△PQD是直角三角形；當t=6時，P點到達B點、Q點到達C點，此時∠PQD=∠BCD=90°，即△PQD是直角三角形．
綜上所述，當t的值為0秒或$\frac{3}{2}$秒或6秒時，△DPQ是直角三角形；

（3）存在t的值，使△DPQ的面積最�。�
由題意得AP=t，QB=2t，PB=6-t，
∴S_△DPQ=S_梯形ABQD-S_△APD-S_△BPQ
=$\frac{1}{2}$（2t+12）×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t
=t²-6t+36
=（t-3）²+27，
又∵0≤t≤6，
∴當t=3時，S_△DPQ有最小值27．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，三角形的面積計算，解一元二次方程以及二次函數(shù)最值的綜合應用，解決問題的關鍵是用含t的代數(shù)式表示線段的長．解題時注意：確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．