Question

2．已知兩個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）如圖1，設(shè)∠BOD=α（0°＜α＜60°），點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)．連接FM、EM．請(qǐng)問(wèn)：隨著α的變化，試判斷$\frac{FM}{EM}$的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出$\frac{FM}{EM}$的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若BO=3，點(diǎn)N在線段OD上，且NO=1，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△COD固定，△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段PN長(zhǎng)度的最大值是4；最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）連接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，$\frac{AD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，證得AD⊥BC由于點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，于是得到MF∥AD，MF=$\frac{1}{2}$AD，在Rt△EFM中，$\frac{FM}{EM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）過(guò)O作OE⊥AB于E，由已知條件求出當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為$\frac{3}{2}$，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=$\frac{1}{2}$；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長(zhǎng)線時(shí)，NP取最大值OB+ON=4．

解答 解：（1）不變；$\frac{FM}{EM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
如圖1，連接AD、BC交于一點(diǎn)Q，AD交BO于P，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∠ABO=∠DCO=30°，
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴∠OAD=∠CBO，$\frac{AD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠APO=∠BPQ，
∴∠BQP=∠AOB=90°，
∴AD⊥BC，
∵點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
∴MF∥BC，MF=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△EFM中，$\frac{FM}{EM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）如圖2，過(guò)O作OE⊥AB于E，
∵BO=3，∠ABO=30°，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•OE=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OE=$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為$\frac{3}{2}$，
這時(shí)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=$\frac{1}{2}$；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長(zhǎng)線時(shí)，NP取最大值OB+ON=3+1=4，
∴線段PN長(zhǎng)度的最小值為$\frac{1}{2}$，最大值為4．
故答案為：4，$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)三角形的中位線的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．