Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線為.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)M，連接PC，若為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)P滿足（2）的條件，且點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上時(shí)，如圖2，將拋物線沿射線BC方向平移，平移后B，P兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，取AB的中點(diǎn)E，連接，，試探究是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或；（3）.

【解析】

（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式，分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后在將B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）根據(jù)直角的情況分類討論：①若，此時(shí)，代入到二次函數(shù)解析式中，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若，先求出直線PC的解析式，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；③當(dāng)，由圖易知不存在；

（3）連接，，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，先用SAS證出△≌△，此時(shí)易證≥，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，故當(dāng)、和E共線時(shí)，的值最小，且最小值為，然后利用直線解析式求出的坐標(biāo)，即可求出的長.

解：（1）B、C過直線

將y=0代入，解得x=3；將x=0代入，解得y=；

∴，

∵拋物線過點(diǎn)B、C

∴

∴

（2）①若，此時(shí)，代入到二次函數(shù)解析式中，

∴，

∴，

∴

②若（如圖2）

∵

∴

∴

∴直線PC的解析式為：

∴

∴

③當(dāng)，由圖易知不存在.

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.

（3）由（2）知，，，PC= EB=2， EB

連接，，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，故

由平移可知：=，

∴∠=∠

∴△≌△

∴=

≥

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，故當(dāng)、和E共線時(shí)，的值最小，且最小值為

∵

∴

設(shè)直線的解析式為y=kx＋b，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入，可得

直線的解析式為

由（2）的結(jié)論可知：直線的解析式為，設(shè)的坐標(biāo)為

∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入中可得：a=1

∴的坐標(biāo)為

∴，

故