Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊△DEF從初始位置(點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如圖1所示)在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)M、N。當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，△DEF終止運(yùn)動，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在AB上，設(shè)平移的時(shí)間為．

(1)求△DEF的邊長；

(2)求M點(diǎn)、N點(diǎn)在BA上的移動速度；

(3)在△DEF開始運(yùn)動的同時(shí)，如果點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從D點(diǎn)出發(fā)沿DE→EF運(yùn)動，最終運(yùn)動到F點(diǎn)．若設(shè)△PMN的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，寫出它的定義域；并說明當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PMN的面積最大?

Answer 1

解：(1)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖1所示：

∵△DEF為等邊三角形 ∴∠DFE=60°

∵∠B=30° ∴∠BDF=90°

∴FD=BC=3

(2)過E點(diǎn)作EG⊥AB      ∵∠DEF=60°，∠B=30°

∴∠AMF=30° ∵EB=EM

在Rt△EBG中，BG=

∴BM=2BG=

∴M點(diǎn)在BA上的移動速度為

過F點(diǎn)作FH⊥F₁D_l ，在Rt△FF₁H中，

FH

∴N點(diǎn)在BA上的移動速度為

(3)在Rt△DMN中，DM=，MN

當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)時(shí)，有

∴

①當(dāng)P點(diǎn)在DM之間運(yùn)動時(shí)，過P點(diǎn)作PP₁上AB，垂足為P₁。

在Rt△PMP_l中，  ∴PP_l

∴與的函數(shù)關(guān)系式為：

②當(dāng)P點(diǎn)在ME之間運(yùn)動時(shí)，過P點(diǎn)作PP₂⊥AB，垂足為P₂

在Rt△PMP₂中，PM= 

∴PP₂

∴與的函數(shù)關(guān)系式為：

③當(dāng)P點(diǎn)在EF之間運(yùn)動時(shí)，過P點(diǎn)作PP₃⊥AB，垂足為P₃

在Rt△PMP₃中，PM=  ∴PP₃=

∴與的函數(shù)關(guān)系式為：

∴

∴當(dāng)時(shí)，

而當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，

∵

∴當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)時(shí)，△PMN的面積最大