Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過C作CD⊥PA，垂足為D，∠DAC=∠CAE．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD=4，AD=2，試求

AB

AE

的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC，因為∠DAC=∠CAE．可得∠DAC=∠OCA，推出OC∥AD，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）過O作OM⊥AB于M．利用已知和切線的性質(zhì)可得四邊形DMOC是矩形，從而得到OC=DM，OM=CD=4．設(shè)半徑為x，在Rt△AMO中利用勾股定理列方程，從而求得半徑，繼而得到AE的長，再利用勾股定理求得AM的長度，再利用垂徑定理求得AB的長度，從而得到答案．

解答：解：（1）CD與⊙O相切，
理由：
連接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠CAE，
即∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，點C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD=4．
∵AD=2
設(shè)圓的半徑為x，則AM=x-AD=x-2，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴x²=（x-2）²+4²，
解得，x=5，
∴⊙O的半徑為5，則AE=10，
∵OA=5，OM=4，
∴AM=3，
∴AB=6，
∴

AB

AE

=

6

10

=

3

5

．

點評：本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、切線的判定、矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理、垂徑定理等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力及利用方程思想求解線段長度的方法．