Question

如圖，等邊△OBC的邊長為10，點(diǎn)P沿O→B→C→O的方向運(yùn)動，⊙P的半徑為

3

，⊙P運(yùn)動一圈與△OBC的邊相切多少次？每次相切時，點(diǎn)P分別在什么位置？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題

分析：當(dāng)點(diǎn)P在OB上且與邊OC相切時，如圖，作PH⊥OC于H，根據(jù)直線與圓相切的判定得到PH=

3

，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠O=60°，在Rt△OPH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=

3

3

PH=1，OP=2OH=2，即點(diǎn)P在OB，OP=2時，⊙P與邊OC相切，然后利用同樣的方法可得BP=2或CP=2時，⊙P與△OBC的邊相切．

解答：解：當(dāng)點(diǎn)P在OB上且與邊OC相切時，如圖，
作PH⊥OC于H，則PH=

3

，
∵△OBC為等邊三角形，
∴∠O=60°，
在Rt△OPH中，OH=

3

3

PH=

3

3

•

3

=1，
OP=2OH=2，
∴點(diǎn)P在OB，OP=2時，⊙P與邊OC相切，
同理可得點(diǎn)P在OB，BP=2時，⊙P與邊BC相切；
點(diǎn)P在BC，BP=2時，⊙P與邊OB相切，
點(diǎn)P在BC，CP=2時，⊙P與邊OC相切，
點(diǎn)P在OC，CP=2時，⊙P與邊BC相切，
點(diǎn)P在OC，OP=2時，⊙P與邊OB相切，
綜上所述，⊙P運(yùn)動一圈與△OBC的邊相切6次，每次相切時，點(diǎn)P分別距離△OBC的頂點(diǎn)2個單位．

點(diǎn)評：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．