Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：BC²=2CD•OE；
（3）若cos∠BAD=

3

5

，BE=

14

3

，求OE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；
（2）證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得．

解答：（1）證明：連接OD，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴CE=DE=BE=

1

2

BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為圓O的切線；
（2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即BC²=AC•CD．
∴BC²=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=

3

5

，
∴sin∠BAC=

BC

AC

=

4

5

，
又∵BE=

14

3

，E是BC的中點(diǎn)，即BC=

28

3

，
∴AC=

35

3

．
又∵AC=2OE，
∴OE=

1

2

AC=

35

6

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．