Question

已知：矩形ABCD中，過點B作 BG⊥AC交AC于點E，分別交射線AD于F點、交射線CD于G點，BC=6．
（1）當(dāng)點F為AD中點時，求AB的長；
（2）聯(lián)結(jié)AG，設(shè)AB=x，S_△AFG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（3）是否存在x的值，使以D為圓心的圓與BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）易證△ABF∽△BCA，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出AB的值；
（2）由（1）可得△ABF∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求得AF=

x2

6

，同理可得CG=

36

x

．然后分點F在線段AD上及在線段AD延長線上兩種情況進行討論，只需求出AF、DG，就可解決問題；
（3）過點D作DH⊥BG于點H，易得∠ACB=30°，在Rt△ABC中運用三角函數(shù)就可解決問題．

解答：解：（1）∵點F為AD中點，且AD=BC=6，
∴AF=3．
∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，BG⊥AC于點E，
∴∠ABE+∠EBC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠ACB．
∵∠FAB=∠ABC=90°，
∴△ABF∽△BCA，
∴

AB

BC

=

AF

BA

，
∴

AB

6

=

3

AB

，
∴AB=3

2

；

（2）由（1）可得△ABF∽△BCA，
∴

AB

BC

=

AF

AB

．
∵AB=x，BC=6，
∴AF=

AB2

BC

=

x2

6

，
同理可得：CG=

BC2

AB

=

36

x

．
①當(dāng)F點在線段AD上時，如圖1，

DG=CG-CD=

36

x

-x=

36-x2

x

，
∴S_△AFG=

1

2

AF•DG=

36x-x3

12

，
即y=

36x-x3

12

（0＜x＜6）；
②當(dāng)F點在線段AD延長線上時，如圖2，

DG=CD-CG=x-

36

x

=

x2-36

x

，
∴S_△AFG=

1

2

AF•DG=

x3-36x

12

，
即y=

x3-36x

12

（x＞6）；

（3）過點D作DH⊥BG于點H，如圖3，

∵以點D為圓心的圓與BC、BG都相切，
∴CD=DH，
∴∠DBF=∠CBD．
∵矩形ABCD中，∠ACB=∠CBD，
∴Rt△BEC中，∠ACB+∠CBD+∠DBF=90°，
∴∠ACB=30°，
∴Rt△ABC中，tan∠ACB=

AB

BC

，
∴tan30°=

x

6

，
∴x=2

3

，
即當(dāng)x=2

3

時，以點D為圓心的圓與BC、BG都相切．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、切線長定理、三角函數(shù)等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．