Question

17．已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC；在△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE．連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接DM和BM．
（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖（1）．求證：BM=DM，且BM⊥DM；
（2）如果將圖（1）中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°的角，請(qǐng)畫出圖形．（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM=DM=$\frac{1}{2}$EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）首先證明△EMD≌△CMN，得CN=AD，DM=MN，再由AB=AC，可得BD=BN，從而可得△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊DN上的中線，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到△BMD為等腰直角三角形；

解答 解：（1）△BMD是等腰三角形，
理由是：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，
∵點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$CE，DM=$\frac{1}{2}$CE，
∴BM=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案為：BM=DM且BM⊥DM．

（2）結(jié)論：BM=DM，BM⊥DM，
證明：∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠NMC}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=AD，DM=MN，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，BM=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∴△BMD為等腰直角三角形，
∴BM⊥DM，BM=DM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．