Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AB=16，BC=12，順次連結(jié)各邊中點，得菱形A₁B₁C₁D₁；再順次連結(jié)菱形A₁B₁C₁D₁的各邊中點，得矩形A₂B₂C₂D₂；再順次連結(jié)矩形A₂B₂C₂D₂的各邊中點，得菱形A₃B₃C₃D₃，…這樣繼續(xù)下去．則圖中的四邊形A₈B₈C₈D₈的周長等于$\frac{7}{2}$，圖中的四邊形A₉B₉C₉D₉的面積等于$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形和矩形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形周長和面積，得出規(guī)律求出即可．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=16，BC=12，順次連結(jié)矩形形ABCD各邊中點，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是菱形，矩形對角線長=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20，
∴A₁B₁=10，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁的周長是：10×4=40，
同理可得出：A₂D₂=$\frac{1}{2}$BC=12×$\frac{1}{2}$=6，C₂D₂=$\frac{1}{2}$AB=16×6=8，
∴四邊形A₂B₂C₂D₂的周長是：2（6+8）=28，
∴A₄D₄=3，C₄D₄=4，
∴四邊形A₄B₄C₄D₄的周長是：2（3+4）=14，…，
∴四邊形A₈B₈C₈D₈的周長=$\frac{1}{8}$×28=$\frac{7}{2}$；
根據(jù)題意得：四邊形A₁B₁C₁D₁的面積=矩形ABCD面積的一半，
四邊形A₂B₂C₂D₂的面積=四邊形A₁B₁C₁D₁的面積的一半=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面積，…，
∴四邊形A₉B₉C₉D₉的面積=$（\frac{1}{2}）^{9}$×矩形ABCD的面積=（$\frac{1}{2}$）⁹×16×12=$\frac{3}{8}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{8}$．

點評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和中點四邊形的性質(zhì)等知識；根據(jù)已知得出周長和面積的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．