Question

AB是⊙O的直徑，AD與⊙O相交，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線交AD于點(diǎn)E．
（1）如圖1，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于點(diǎn)E，求證：CE是⊙O的切線；
（2）如圖2，若CE是⊙O的切線，CE⊥AD于點(diǎn)E，AC是∠BAD的平分線嗎？說(shuō)明理由；
（3）如圖3，若CE是⊙O的切線，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）求出∠OAC=∠OCA，由AC平分∠BAD，推出∠OCA=∠CAD，得出OC∥AD，求出CE⊥0C，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出OC∥AD，得出∠OCA=∠CAD，然后求出∠OAC=∠OCA，進(jìn)而得出∠OCA=∠CAD，即可求得AC是∠BAD的平分線；
（3）連接OC，BC，首先證明AD∥OC，即可證得∠AEC=90°，然后證明△EAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：（1）證明：如圖1，連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OCA=∠CAD
∴OC∥AD
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
又OC是半徑，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：AC是∠BAD的平分線，
理由：如圖2，連接OC
∵CE是⊙O的切線，
∴CE⊥OC，
∵CE⊥AD，
∴OC∥AD
∴∠OCA=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAD，
即AC是∠BAD的平分線；
（3）解：如圖3，連接OC、BC
∵CE是⊙O的切線，
∴CE⊥OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠OCB
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠B=∠ACE，
∵AC平分∠BAD，
∴△ABC∽△ACE，
∴

AB

AC

=

AC

AE

，
即

8

6

=

6

AE

，
解得：AE=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．