Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E是BC邊上的任意兩點，且∠DAE=45°．
（1）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，請在圖（1）中畫出△ACF．
（2）在（1）中，連接EF，探究線段BD，EC和DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．
（3）如圖2，M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且BM+DN=MN，試求∠MAN的大�。�

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）完成圖形；
（2）易證∠DAE=∠FAE=45°，即可證明△DAE≌△FAE，可得EF=DE，根據(jù)∠ACF=45°可證∠ECF=90°，根據(jù)勾股定理可得EF²=EC²+FC²，即可解題；
（3）由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠D=90°，可得ME=MN，即可證明△AEM≌△ANM，可得∠MAE=∠MAN=45°，即可解題．

解答：解：（1）完成圖形，

（2）連接EF，

由旋轉(zhuǎn)可知，AF=AD，CF=BD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
在△DAE和△FAE中，

AF=AD ∠DAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴EF=DE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴EF²=EC²+FC²，
∴DE²=EC²+BD²；
（3）將△ADN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠D=90°，
∴E，B，M三點共線，
∵BM+DN=MN，
∴ME=MN，
在△AEM和△ANM中，

AN=AE EM=MN AM=AM

，
∴△AEM≌△ANM（SSS），
∴∠MAE=∠MAN=45°．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DAE≌△FAE和△AEM≌△ANM是解題的關(guān)鍵．