Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）若DF=5，DG=3，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，AD，由圓周角定理可得AD⊥BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)知BD=CD，再根據(jù)OA=OB知OD∥AC，從而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得證；
（2）連接BE，先證DG為△BCE的中位線可得BE=2DG=6，CG=EG，再證△AEB∽△AGF可得$\frac{BE}{FG}=\frac{AE}{AG}$，即$\frac{AE}{AG}$=$\frac{6}{5+3}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)EG=x，可得AE=3x，證△DGC∽△AGD可得$\frac{DG}{AG}$=$\frac{GC}{GD}$，從而求出x，根據(jù)CE=2EG可得答案．

解答 解：（1）連接OD，AD，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直線FG與⊙O相切；

（2）連接BE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴BE⊥AC，
又∵DG⊥AC，
∴DG∥CE，
∵CD=BD，
∴DG為△BCE的中位線，
∴BE=2DG=6，CG=EG，
∵BE∥DG，即BE∥FG，
∴△AEB∽△AGF，
∴$\frac{BE}{FG}=\frac{AE}{AG}$，即$\frac{AE}{AG}$=$\frac{6}{5+3}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)EG=x，
則$\frac{AE}{AE+x}$=$\frac{3}{4}$，可得AE=3x，
∵AD⊥BC、DG⊥AC，
∴△DGC∽△AGD，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{GC}{GD}$，即$\frac{3}{4x}$=$\frac{x}{3}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴EC=2x=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．