Question

6．如圖，AF⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為點A，B，點D是AB延長線上一點，且滿足AD=BC，DF=CD．
（1）試判斷AF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）已知點E是BC延長線上一點，且CE=BD，連接AE，若CD=2，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AF=BD．只要證明△DBC≌△FAD即可．
（2）先證明△CDF是等腰直角三角形，求出CF，再證明四邊形CEAF是平行四邊形即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：AF=BD．
理由：∵AF⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DBC=∠DAF=90°，
在Rt△DBC和Rt△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{CD=DF}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△FAD，
∴AF=BD．

（2）∵△DBC≌△FAD，
∴∴∠DCB=∠ADF，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∴∠CDB+∠ADF=90°，
∴∠CDF=90°，∵CD=DF=2，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵EC=DB=AF，EC∥AF，
∴四邊形ECFA是平行四邊形，
∴AE=CF=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，證明∠CDF是直角是解第二個問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．