Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E，如果點(diǎn)F是弧EC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FB，那么tan∠FBC的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 連接CE交BF于H，連接BE，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，根據(jù)勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根據(jù)勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．

解答 解：連接CE交BF于H，連接BE，

∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，DE=5-4=1，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由垂徑定理得：CH=EH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△BHC中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
所以tan∠FBC=$\frac{FC}{BH}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理的應(yīng)用，能正確作出輔助線并構(gòu)造出直角三角形是解此題的關(guān)鍵．