Question

如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，易證MN=AM+CN

⑴ 如圖2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 點M、N分別在AD、CD上，

若∠MBN=∠ABC ,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．

⑵ 如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出猜想，不需證明．

Answer 1

解：（1） 圖2，  猜想：MN=AM+CN      

 證明: 延長 NC至點F ，使 CF= AM，連接BF

     ∵四邊形ABCD是等腰梯形

     ∴∠DAB=∠ADC

     又∵AD∥CB

     ∴∠ADC =∠BCF

     ∴∠BCF=∠DAB

     又∵AB=BC  AM=CF

         ∴△AMB≌△CFB                 

     ∴∠2=∠3  BM=BF

∵∠MBN=∠ABC

∴∠1+∠2=∠MBN

∴∠1+∠3=∠MBN

即∠MBN=∠NBF

又∵BN=BN   BM=BF

           ∴△MBN≌△FBN

     ∴ MN=NF

     ∵NF=NC+CF

     ∴MN=AM+CN                     

   （2）圖3  猜想：MN=CN-AM