Question

13．如圖，過(guò)?ABCD中對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H，試判斷四邊形EFGH的形狀并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形解答．

解答 解：在平行四邊形ABCD中，OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCG}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE=OG，
同理可得OF=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵EG⊥FH，
∴四邊形EFGH是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)；熟記性質(zhì)并求出三角形全等從而得到對(duì)角線(xiàn)被互相平分是解題的關(guān)鍵．