Question

如圖①，中，，．它的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為秒．

（1）求的度數(shù)．
（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，的面積（平方單位）與時間（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），求點(diǎn)的運(yùn)動速度．
（3）求（2）中面積與時間之間的函數(shù)關(guān)系式及面積取最大值時點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）如果點(diǎn)保持（2）中的速度不變，那么點(diǎn)沿邊運(yùn)動時，的大小隨著時間的增大而增大；沿著邊運(yùn)動時，的大小隨著時間的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)沿這兩邊運(yùn)動時，使的點(diǎn)有幾個？請說明理由．

Answer 1

（1）（2）點(diǎn)的運(yùn)動速度為2個單位/秒（3），（4）有2個，理由見解析

（1）．························· 2分
（2）點(diǎn)的運(yùn)動速度為2個單位/秒．····················· 4分
（3）（）
··························· 6分
．
當(dāng)時，有最大值為，
此時．····························· 9分
（4）當(dāng)點(diǎn)沿這兩邊運(yùn)動時，的點(diǎn)有2個．·········· 11分
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)重合時，的長是12單位長度，
作交軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，
由得：，
所以，從而．
所以當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，的點(diǎn)有1個．·········· 13分
②同理當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，

可算得．
而構(gòu)成直角時交軸于，，
所以，從而的點(diǎn)也有1個．
所以當(dāng)點(diǎn)沿這兩邊運(yùn)動時，的點(diǎn)有2個．··········· 14分
（1）已知了AB的長和B點(diǎn)的坐標(biāo)，那么sin∠BAO= ，因此∠BAO=60°
（2）由函數(shù)的圖形可知：當(dāng)t=5時，三角形OPQ的面積是30，如果設(shè)點(diǎn)P的速度為a，那么AP=5a，那么P到AC的距離就是 ，也就是P到OQ的距離為10-，OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-）×=30，解得a=1.6，a=2．由于拋物線的解析式為S=（at+2）（10- ）× ，經(jīng)化簡后可得出對稱軸應(yīng)該是t=，當(dāng)a=1.6時，對稱軸t=5.625顯然大于5，與給出的拋物線的圖形不相符，因此a=2是本題的唯一的解．也就是說P的速度是2單位/秒．
（3）根據(jù)（2）的求解過程即可得出S的解析式．然后根據(jù)函數(shù)的解析式來得出函數(shù)的最大值及此時對應(yīng)的t的取值，然后根據(jù)P，Q的速度和t的取值，可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）本題其實(shí)主要是看P在B點(diǎn)和C點(diǎn)時∠OPQ的度數(shù)范圍，當(dāng)∠OBQ的度數(shù)大于90°，∠OCQ的度數(shù)小于90°時，那么在AB，BC上分別有一個符合要求的點(diǎn)P，如果∠OBQ的度數(shù)小于90°時那么就沒有符合要求的點(diǎn)，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的點(diǎn)只有一個．當(dāng)P，B重合時，作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，然后比較OM和OQ的長即可得出∠OPQ的大致范圍，根據(jù)相似三角形OPH和OPM不難得出OM的長，然后比較OM，OQ的大小，如果OQ＞OM則說明∠OPQ＞90°，反之則小于90°，用同樣的方法可得出當(dāng)P與C重合時∠OPQ的大致取值范圍，然后根據(jù)上面的分析即可判定出有幾個符合要求的點(diǎn)．