Question

二次函數(shù)y=ax²+4的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2）在y軸上，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC∥y軸交拋物線于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＜2），求當(dāng)△PBC是直角三角形時(shí)，直接寫出m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：把點(diǎn)（2，0）代入二次函數(shù)y=ax²+4，根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)解析式，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AB的解析式，再分∠PBC=90°，∠PCB=90°兩種情況討論即可求解．

解答：解：把點(diǎn)（2，0）代入二次函數(shù)y=ax²+4，可得
4a+4=0，
解得a=-1，
則二次函數(shù)解析式為y=-x²+4，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)（2，0），（0，2）代入可得

2k+b=0 b=2

，
解得

k=-1 b=2

則直線AB的解析式為y=-x+2，

①設(shè)拋物線與x負(fù)半軸交于點(diǎn)D，易得△ABD為等腰直角三角形，其中∠ABD為直角．
即過點(diǎn)B、D的直線是垂直于直線AP，
當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，即點(diǎn)C在直線BD上，如答圖1，
設(shè)直線BD的解析式為y=k′x+b′，
把點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)D（-2，0）代入，可得直線BD的解析式為y=x+2，
聯(lián)立二次函數(shù)解析式可得

y=x+2 y=-x2+4

，
解得

x1=-2 y1=0

，

x2=1 y2=3

．
則m的值為-2或1；

②當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，
∵PC∥y軸，
∴CB⊥y軸
過點(diǎn)B作直線l垂直于y軸，如答圖2，
C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，將其代入拋物線解析式中，
當(dāng)y=2時(shí)，-x²+4=2，解得x=±

2

，
則m的值為-

2

或

2

．
綜上所述，m的值為-2或1或-

2

或

2

．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，直角三角形的性質(zhì)，方程思想，以及分類思想的應(yīng)用．