Question

10．在三角形紙片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=5，BC=12．過(guò)點(diǎn)A作直線l平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點(diǎn)B落在直線l上的T處，折痕為MN．當(dāng)點(diǎn)T在直線l上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng)．若限定端點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上移動(dòng)，則線段AT長(zhǎng)度的最大值與最小值之和為17-$\sqrt{119}$（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．

Answer 1

分析 找到兩個(gè)極端，即AT取最大或最小值時(shí)，點(diǎn)M或N的位置，分別求出點(diǎn)M與A重合時(shí)，AT取最大值，當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，AT有最小值．

解答 解：如圖所示：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，AT取得最大值，
由軸對(duì)稱可知，AT=AB=5；
當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，AT取得最小值，
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，連結(jié)CT，則四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，
由軸對(duì)稱可知，CT=BC=12，
在Rt△CDT中，CD=5，CT=12，
則DT=$\sqrt{1{2}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{119}$，
∴AT=AD-DT=12-$\sqrt{119}$，
綜上可得：線段AT長(zhǎng)度的最大值與最小值的和為17-$\sqrt{119}$；
故答案為：17-$\sqrt{119}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象容易造成錯(cuò)誤．