Question

【題目】小南利用幾何畫(huà)板畫(huà)圖，探索結(jié)論，他先畫(huà)∠MAN＝90°，在射線AM上取一點(diǎn)B，在射線AN上取一點(diǎn)C，連接BC，再作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD、BD，得到如圖所示圖形，移動(dòng)點(diǎn)C，小南發(fā)現(xiàn)：當(dāng)AD＝BC時(shí)，∠ABD＝90°；請(qǐng)你繼續(xù)探索；當(dāng)2AD＝BC時(shí)，∠ABD的度數(shù)是_____．

Answer 1

【答案】30°或150°

【解析】

分兩種情況，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到△ADE是等邊三角形，進(jìn)而依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)．

解：分兩種情況：

如圖，當(dāng)AB＞AC時(shí)，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，

則AE＝DE＝BC，

即BC＝2AE＝2DE，

又∵BC＝2AD，

∴AD＝AE＝DE，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠AED＝60°，

又∵BC垂直平分AD，

∴∠AEC＝30°，

又∵BE＝AE，

∴∠ABC＝∠AEC＝15°，

∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；

如圖，當(dāng)AB＜AC時(shí)，同理可得∠ACD＝30°，

又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，

∴∠ABD＝150°，

故答案為：30°或150°．