Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于點0，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F為垂足．設DC=m，AB=n．（1）求證：△ACB≌△BDA；（2）求四邊形DEFC的周長．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（２）3m+n.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知和平行線的性質(zhì)得出∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，推出OA=OB，OC=OD，求出AC=BD，根據(jù)SAS證三角形全等即可；

（2）過點C作CG∥BD，交AB延長線于G，得出平行四邊形DCGB，推出等腰直角三角形ACG，求出AG長，求出CF即可．

試題解析：（1）證明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，

∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，

∴OA=OB，OC=OD，

∴AC=BD，

在△ACB與△BDA中，

，

∴△ACB≌△BDA．

（2）【解析】
過點C作CG∥BD，交AB延長線于G，

∵DC∥AG．CG∥BD，

∴四邊形DBGC為平行四邊形，

∵△ACB≌△BDA，

∴AD=BC，

即梯形ABCD為等腰梯形，

∵AC=BD=CG，

∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG，

∴∠ACG=90°，AC=BD，CF⊥FG，

∴AF=FG，

∴CF=AG，又AG=AB+BG=m+n，

∴CF=(m+n)．

又∵四邊形DEFC為矩形，故其周長為：2（DC+CF）=2(m+)＝3m+n

考點: １.等腰梯形的判定；２.全等三角形的判定與性質(zhì)；３.平行四邊形的判定與性質(zhì)；４.等腰梯形的性質(zhì)．