Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax²＋bx－7的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，且A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在(2)的拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)P，使得∠BAP＝45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△ABP的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)因?yàn)锳、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1、4，所以點(diǎn)A為(1，0)． 　　又點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)x＝4對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)B為(7，0)． 　　(2)因?yàn)槎�次函�?shù)y＝ax2＋bx－7的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，B(7，0)， 　　所以a＋b－7＝0，49a＋7b－7＝0，解得a＝－1，b＝8． 　　所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋8x－7． 　　(3)假設(shè)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P(x，y)，使得∠BAP＝45°， 　　①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，有x－1＝y(tǒng)． 　　所以x－1＝－x2＋8x－7，即x2－7x＋6＝0，解得x＝6或x＝1(不合題意，舍去)． 　　所以y＝－62＋8×6－7＝5． 　　所以點(diǎn)P為(6，5)．此時(shí)，S△ABP＝×(7－1)×5＝＝15． 　　②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，有x－1＝－y． 　　所以x－1＝x2－8x＋7， 　　解得x＝8或x＝1(不合題意，舍去)． 　　所以y＝－82＋8×8－7＝－7． 　　所以點(diǎn)P為(8，－7)． 　　此時(shí)，S△ABP＝×(7－1)×7＝＝21．