Question

18．如圖所示，⊙O₁和⊙O₂為兩個等圓，O₁A∥O₂D，O₁O₂與AD相交于點E，AD與⊙O₁和⊙O₂分別交于點B，C，求證：AB=CD．

Answer 1

分析 分別過O₁，O₂作O₁G⊥AB，O₂H⊥CD垂足分別為G，H，由已知條件易證∴△O₁GE≌△O₂HE（AAS），所以O(shè)₁G=O₂H，進而可證明：AB=CD（同圓或等圓中，相等的弦心距所對的弦相等）．

解答 證明：分別過O₁，O₂作O₁G⊥AB，O₂H⊥CD垂足分別為G，H，
∴∠O₁GE=∠O₂HE=90°，
∵O₁A∥O₂D，
∴∠A=∠D，
在△O₁AE和△O₂DE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠{O}_{1}EA=∠{O}_{2}ED}\\{{O}_{1}A={O}_{2}D}\end{array}\right.$，
∴△O₁AE≌△O₂DE（AAS），
∴O₁E=O₂E，
在△O₁GE和△O₂HE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{O}_{1}EG=∠{O}_{2}EH}\\{∠{O}_{1}GE=∠{O}_{2}HE=90°}\\{{O}_{1}E={O}_{2}E}\end{array}\right.$，
∴△O₁GE≌△O₂HE（AAS），
∴O₁G=O₂H，
∴AB=CD（同圓或等圓中，相等的弦心距所對的弦相等）．

點評 本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判斷和性質(zhì)以及圓心定理，題目的綜合性較強，難度不大，是中考常見題型．