Question

7．已知二次函數(shù)y₁=mx²-2mx-3（m＞0）與一次函數(shù)y₂=x+1，令W=y₁-y₂．
（1）若y₁、y₂的函數(shù)圖象交于x軸上的同一點(diǎn)．
①求m的值；
②當(dāng)x為何值時(shí)，W的值最小，試求出該最小值；
（2）當(dāng)-2＜x＜3時(shí)，W隨x的增大而減�。�
①求m的取值范圍；
②求證：y₁＜y₂．

Answer 1

分析 （1）①直接得出一次函數(shù)y₂=x+1過(guò)（-1，0），進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式得出答案；
②直接利用m的值得出W與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出最值；
（2）①首先表示出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)而二次函數(shù)增減性得出m的取值范圍；
②首先得出當(dāng)x=-2時(shí)，W的值，進(jìn)而得出W＜W₀≤0，即y₁-y₂＜0，即可得出答案．

解答 解：（1）①∵y₁、y₂的函數(shù)圖象交于x軸上的同一點(diǎn)，一次函數(shù)y₂=x+1過(guò)（-1，0），
∴二次函數(shù)y₁=mx²-2mx-3（m＞0）過(guò)（-1，0），
∴0=m+2m-3，
解得：m=1；

②W=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，W的值最小，最小值為：-$\frac{25}{4}$；

（2）①解：W=mx²-2mx-3-x-1=mx²-（2m+1）x-4，
對(duì)稱軸為：x=-$\frac{-（2m+1）}{2m}$=$\frac{2m+1}{2m}$，
因?yàn)閙＞0，-2＜x＜3時(shí)，且W隨x的增大而減小，
所以，$\frac{2m+1}{2m}$≥3，
所以m≤$\frac{1}{4}$，
所以0＜m≤$\frac{1}{4}$，

②證明：當(dāng)x=-2時(shí)，W₀=y₁-y₂=8m-2，
因?yàn)?2＜x＜3時(shí)，W隨x的增大而減�。�
所以，W＜W₀=8m-2，
因?yàn)?＜m≤$\frac{1}{4}$，所以8m-2≤0，即W₀≤0，
所以W＜W₀≤0，即y₁-y₂＜0，
所以y₁＜y₂．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，正確利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．