Question

一個弓形橋洞截面示意圖如圖所示，圓心為O，弦AB是水底線，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=

12

13

，DE是水位線，DE∥AB．
（1）當水位線DE=4

30

m時，求此時的水深；
（2）若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，求此時∠ACD的余切值．

Answer 1

考點：垂徑定理的應用,勾股定理

專題：

分析：（1）延長CO交DE于點F，連接OD，根據(jù)垂徑定理求出BC的長，由sin∠COB=

BC

OB

得出OB的長，根據(jù)DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF過圓心可得出DF的長，再根據(jù)勾股定理求出OF的長，進而可得出CF的長；
（2）若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，即CF=8m，則OF=CF-OC=3m，連接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的長，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出結論．

解答：解：（1）延長CO交DE于點F，連接OD
∵OC⊥AB，OC過圓心，AB=24m，
∴BC=

1

2

AB=12m．
在Rt△BCO中，sin∠COB=

BC

OB

=

12

13

，
∴OB=13mCO=5m．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．
又∵OF過圓心，
∴DF=

1

2

DE=

1

2

×4

30

=2

30

m．
在Rt△DFO中，OF=

OD2-DF2

=

169-120

=7m，
∴CF=CO+OF=12m，即當水位線DE=4

30

m時，此時的水深為12m；

（2）若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，即CF=8m，則OF=CF-OC=3m，
連接CD，在Rt△ODF中，DF=

OD2-OF2

=

132-32

=4

10

m．
在Rt△CDF中，cot∠CDF=

DF

CF

=

10

2

．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，
∴cot∠ACD=cot∠CDF=

10

2

．
答：若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，此時∠ACD的余切值為

10

2

．

點評：本題考查的是垂徑定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．