Question

【題目】如圖1、圖2，在圓O中，，，將弦AB與弧AB所圍成的弓形包括邊界的陰影部分繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是．

點(diǎn)O到線段AB的距離是______；______；點(diǎn)O落在陰影部分包括邊界時(shí)，的取值范圍是______；

如圖3，線段B與優(yōu)弧ACB的交點(diǎn)是D，當(dāng)時(shí)，說明點(diǎn)D在AO的延長線上；

當(dāng)直線與圓O相切時(shí)，求的值并求此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長度．

Answer 1

【答案】(1)；120；；(2)見解析;(3)或;,.

【解析】

利用垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)值解答；當(dāng)與OB重疊時(shí)，取最小值；當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與圓相交時(shí)，交點(diǎn)為，來求的最大值；

連接AD，利用圓周角定理進(jìn)行證明；

利用切線的性質(zhì)求得的值，并利用弧長公式求得相應(yīng)的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長度．

解：如圖1，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，

由垂徑定理知，，
又，
，
．
又，
．
如圖2，當(dāng)與OB重疊時(shí)，；

當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與圓相交，交點(diǎn)為，連接，則，此時(shí)是等邊三角形，
，
的取值范圍是：．
故答案是：；120；；
連接AD，，

為直徑，
所以D在AO的延長線上；
當(dāng)與相切，
，
此時(shí)
或
或
當(dāng)時(shí)，
運(yùn)動(dòng)路徑的長度
當(dāng)時(shí)，
運(yùn)動(dòng)路徑的長度．