Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過B作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠AFB=∠D．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，AD=3，∠BAE=30°，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）可通過證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據(jù)（1）的相似三角形可得出關(guān)于AB，AE，AD，BF的比例關(guān)系，有了AD，AB的長(zhǎng)，只需求出AE的長(zhǎng)即可．通過解直角三角形ABE求出AE的長(zhǎng)，這樣就能求出BF的長(zhǎng)了．

解答：（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
又∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
又∠BAE=30°，AB=4，
∴AE=

AB

cos30°

=

4

3 2

=

8 3

3

∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴

BF

AD

=

AB

AE

．即

BF

3

=

4

8 3 3

，
∴BF=

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)也用到了平行四邊形的性質(zhì)．相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．