Question

16．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直與x軸，垂足為E，l是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．
（1）求出二次函數(shù)的表達(dá)式以及點D的坐標(biāo)；
（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A₁O₁F，求此時Rt△A₁O₁F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積；
（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A₂O₂C₂，Rt△A₂O₂C₂與Rt△OED重疊部分的圖形面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）由GH∥A₁O₁，求出GH=1，再求出FH，S_重疊部分=S_△A1O1F-S_△FGH計算即可；
（3）分兩種情況①直接用面積公式計算，②用面積差求出即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（9，0）和C（0，4）．
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-9），
∵C（0，4）在拋物線上，
∴4=-27a，
∴a=-$\frac{4}{27}$，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{27}$（x+3）（x-9）=-$\frac{4}{27}$x²+$\frac{8}{9}$x+4，
∵CD垂直于y軸，C（0，4）
∴-$\frac{4}{27}$x²+$\frac{8}{9}$x+4=4，
∴x=6，
∴D（6，4），
（2）如圖1，

∵點F是拋物線y=-$\frac{4}{27}$x²+$\frac{8}{9}$x+4的頂點，
∴F（3，$\frac{16}{3}$），
∴FH=$\frac{4}{3}$，
∵GH∥A₁O₁，
∴$\frac{GH}{{A}_{1}{O}_{1}}=\frac{FH}{F{O}_{1}}$，
∴$\frac{GH}{3}=\frac{\frac{4}{3}}{4}$，
∴GH=1，
∵Rt△A₁O₁F與矩形OCDE重疊部分是梯形A₁O₁HG，
∴S_重疊部分=S_△A1O1F-S_△FGH=$\frac{1}{2}$A₁O₁×O₁F-$\frac{1}{2}$GH×FH=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$．
（3）①當(dāng)0＜t≤3時，如圖2，

∵C₂O₂∥DE，
∴$\frac{{O}_{2}G}{DE}=\frac{O{O}_{2}}{OE}$，
∴$\frac{{O}_{2}G}{4}=\frac{t}{6}$，
∴O₂G=$\frac{2}{3}$t，
∴S=S_△OO2G=$\frac{1}{2}$OO₂×O₂G=$\frac{1}{2}$t×$\frac{2}{3}$t=$\frac{1}{3}$t²，
②當(dāng)3＜t≤6時，如圖3，

∵C₂H∥OC，
∴$\frac{D{C}_{2}}{CD}=\frac{{C}_{2}H}{OC}$，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{{C}_{2}H}{4}$，
∴C₂H=$\frac{2}{3}$（6-t），
過G作GN⊥C₂O₂于N，
∵△C₂GD∽△A₂GO且C₂D=6-t，OA₂=t-3，C₂O₂=4，
∴$\frac{{C}_{2}N}{{C}_{2}{O}_{2}}=\frac{{C}_{2}D}{{A}_{2}{O}_{2}}$，
∴$\frac{{C}_{2}N}{4}=\frac{6-t}{6-t-（t-3）}$
∴C₂N=$\frac{4（6-t）}{3}$，
∵C₂H=$\frac{2（6-t）}{3}$，
∴C₂H=HN，
∴△GNH≌△DC₂H，
∴GN=C₂D=6-t
∴S=S_{四邊形A2O2HG}=S_△A2O2C2-S_△C2GH
=$\frac{1}{2}$OA×OC-$\frac{1}{2}$C₂H×GN
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$（6-t）（6-t）
=-$\frac{1}{3}$t²+4t-6
∴當(dāng)0＜t≤3時，S=$\frac{1}{3}$t²，當(dāng)3＜t≤6時，S=-$\frac{1}{3}$t²+4t-6．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行線分線段成比例定理，三角形的面積計算，解本題的關(guān)鍵是畫出圖形．