Question

甲數(shù)有9個約數(shù)，乙數(shù)有10個約數(shù)，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？

Answer 1

分析：先把最小公倍數(shù)是2800分解質(zhì)因數(shù)，2800=2⁴×5²×7，根據(jù)“甲數(shù)有9個約數(shù)”，甲數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，說明甲數(shù)是一個完全平方數(shù)；又可知甲數(shù)的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：9=3×3=（2+1）×（2+1）；所以甲數(shù)是2²×5²=4×25=100；同理，根據(jù)“乙數(shù)有10個約數(shù)，”可知乙數(shù)的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：10=2×5=（1+1）×（4+1），所以乙數(shù)是2⁴×7¹=16×7=112，據(jù)此解答．

解答：解：2800=2⁴×5²×7，
設(shè)甲數(shù)是N，乙數(shù)是M，
因為N的約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，說明它是一個完全平方數(shù)；則它的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：
9=3×3=（2+1）×（2+1）；
所以甲數(shù)是：N=2²×5²=4×25=100；
同理，M的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：
10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以乙數(shù)是：M=2⁴×7¹=16×7=112．
答：甲數(shù)是100，乙數(shù)是112．

點評：考查了約數(shù)與倍數(shù)，此題是數(shù)論中的約數(shù)個數(shù)問題；即一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則N的約數(shù)共（α+1）（β+1）（γ+1）個約數(shù)．