Question

18．解方程：$\frac{1-x}{x^2}-\frac{{2{x^2}}}{1-x}=1$．

Answer 1

分析 本題考查用換元法解分式方程的能力．可根據方程特點設y=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，將原方程可化簡為關于y的方程，然后化成整式方程，解一元二次方程求y，再求x．

解答 解：設y=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，則原方程可化為：y-$\frac{2}{y}$=1；
兩邊同乘以y整理得y²-y-2=0，
解得y₁=2，y₂=-1．
當y₁=2時，$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=2，化為；2x²+x-1=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$；
當y₂=-1時，$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=-1，化為；x²-x+1=0，∵△＜0，∴此方程無實數根；
經檢驗x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$都是原方程的根
∴原方程的根是x₁=-1，x₂=$\frac{1}{2}$．

點評 用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據方程特點設出相應未知數，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．