Question

如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為E，以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個(gè)交點(diǎn)為F，D是CF延長線與⊙O的交點(diǎn)．若OE=4，OF=6，求⊙O的半徑和CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,幾何圖形問題

分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根據(jù)圓周角定理由OC為小圓的直徑得到∠OFC=90°，則可證明Rt△OEF∽R(shí)t△OFC，然后利用相似比可計(jì)算出⊙O的半徑OC=9；接著在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CF=3

5

，由于OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得CF=DF，所以CD=2CF=6

5

．

解答：解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∵OC為小圓的直徑，
∴∠OFC=90°，
而∠EOF=∠FOC，
∴Rt△OEF∽R(shí)t△OFC，
∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，
∴⊙O的半徑OC=9；
在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，
∴CF=

OC2-OF2

=3

5

，
∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴CD=2CF=6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．