Question

19．如果一個(gè)自然數(shù)能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)自然數(shù)為智慧數(shù)，例如：16=5²-3²，16就是一個(gè)智慧數(shù)，小明和小王對(duì)自然數(shù)中的智慧數(shù)進(jìn)行了如下的探索：
小明的方法是一個(gè)一個(gè)找出來的：0=0²-0²，1=1²-0²，3=2²-1²，4=2²-0²，5=3²-2²，7=4²-3²，8=3²-1²，9=5²-4²，11=6²-5²，…
小王認(rèn)為小明的方法太麻煩，他想到：
設(shè)k是自然數(shù)，由于（k+1）²-k²=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1．
所以，自然數(shù)中所有奇數(shù)都是智慧數(shù)．
問題：
（1）根據(jù)上述方法，自然數(shù)中第12個(gè)智慧數(shù)是15
（2）他們發(fā)現(xiàn)0，4，8是智慧數(shù)，由此猜測4k（k≥3且k為正整數(shù)）都是智慧數(shù)，請(qǐng)你參考小王的辦法證明4k（k≥3且k為正整數(shù)）都是智慧數(shù)．
（3）他們還發(fā)現(xiàn)2，6，10都不是智慧數(shù)，由此猜測4k+2（k為自然數(shù)）都不是智慧數(shù)，請(qǐng)利用所學(xué)的知識(shí)判斷26是否是智慧數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）仿照小明的辦法，繼續(xù)下去，即可得出結(jié)論；
（2）仿照小王的做法，將（k+2）²-k²用平方差公式展開即可得出結(jié)論；
（3）驗(yàn)證26是否符合4k+2，如果符合，則得出26不是智慧數(shù)．

解答 解：（1）繼續(xù)小明的方法，12=4²-2²，13=7²-6²，15=8²-7²，即第12個(gè)智慧數(shù)是15．
故答案為：15；

（2）設(shè)k是自然數(shù)，由于（k+2）²-k²=（k+2+k）（k+2-k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k為正整數(shù)）都是智慧數(shù)．

（3）設(shè)26是智慧數(shù)，可以分成x和y的平方差的形式，
則x²-y²=（x+y）（x-y）=26=1×26=2×13，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{x+y=26}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{x+y=13}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{2}}\\{y=\frac{25}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{2}}\\{y=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$．

與x、y是想、自然數(shù)相矛盾．
則26不是智慧數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義智慧數(shù)以及平方差公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是：（1）仿照小明的辦法繼續(xù)找下去；（2）將將（k+2）²-k²用平方差公式展開；（3）令4k+2=26，求出k值．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，題中文字較多，很多學(xué)生不喜歡這樣的文字題，解決該類型題時(shí)，只要仿照文中給定的辦法即可得出結(jié)論．