Question

【題目】拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于，其中，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行交拋物線(xiàn)于，

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）①當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)時(shí)，所在直線(xiàn)解析式為_____________．

②在①的條件下，取線(xiàn)段中點(diǎn)，連接，判斷以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么四邊形，并說(shuō)明理由？

（3）已知，連接，軸，交于，軸上有一動(dòng)點(diǎn)，，的長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②菱形，見(jiàn)解析；（3）或

【解析】

（1）將代入即可解答；

（2）①待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合直線(xiàn)PQ∥BC，即可設(shè)直線(xiàn)PQ為，聯(lián)立拋物線(xiàn)解析式，根據(jù)根的判別式即可求出m的值，進(jìn)而得到直線(xiàn)PQ的解析式；

②畫(huà)出圖形，根據(jù)M是BC的中點(diǎn)，計(jì)算出BM=，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到OP=，從而證明四邊形POMB是平行四邊形，再根據(jù)OP=OM，從而證明平行四邊形POMB是菱形即可；

（3）求出直線(xiàn)BN的解析式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)以及∠ONB=60°，∠OBN=30°，如圖所示，以NE為邊，∠ONB為內(nèi)角，構(gòu)造等邊△HNE，并作△HNE的外接圓圓P，交x軸于點(diǎn)F1，F2，連接NP，EP，NF1，EF1，NF2，EF2，根據(jù)同圓中等弦所對(duì)的圓周角相等，即可確定∠NF1E=∠NF2E=∠NHE=60°，從而確定點(diǎn)F，根據(jù)∠PNE=∠PEN=30°，∠PEN=∠OBN=30°，得到PE∥OB，結(jié)合PN=PE，列出方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由垂徑定理即可求出，從而得出OF1及OF2即可．

解：（1）將代入得：

，解得：，

∴；

（2）①設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+a，將代入得：

，解得：，

∴直線(xiàn)BC為：，

當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，

∵直線(xiàn)PQ∥BC，

∴設(shè)直線(xiàn)PQ的解析式為，

由，得，

∴，解得m=0，

∴直線(xiàn)PQ的解析式為，

故答案為：；

②如圖，∵，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴M（2,1）

∴BM=，OM=，

由得，

∴P（2，-1），

∴OP=，

∵直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴OP∥BM，

又∵OP=BM，

∴四邊形POMB是平行四邊形，

又∵OP=OM=，

∴平行四邊形POMB是菱形；

（3）設(shè)直線(xiàn)BN的解析式為y=px+q，

將，代入得：

，解得：，

∴直線(xiàn)BN的解析式為：，

當(dāng)x=3時(shí)，y=,

∴E，

∵OB=4，ON=，

∴tan∠ONB=，

∴∠ONB=60°，則∠OBN=30°，

如圖所示，以NE為邊，∠ONB為內(nèi)角，構(gòu)造等邊△HNE，并作△HNE的外接圓圓P，交x軸于點(diǎn)F1，F2，連接NP，EP，NF1，EF1，NF2，EF2，

∴∠NF1E=∠NF2E=∠NHE=60°，

∵點(diǎn)P是△HNE的外接圓圓心，

∴NP，PE分別平分∠ONE，∠HEN，

∴∠PNE=∠PEN=30°，

∴∠PEN=∠OBN=30°，

∴PE∥OB，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)P為，

∵PN=PE，

∴，解得：n=1，

∴P，

∴圓P的半徑為PE=2，

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，連接PF1，

則GP=，OG=1，PF1=2，

由垂徑定理得：，

∴OF1=GF1-OG==，OF2=GF2+OG==，

故答案為：或．